L’Algèbre de la logique de Boole, c’est quoi ?

C’est la structure linéaire des polynômes que j’essaie de vérifier devant vous, comme je n’y suis pas arrivé, pour vous c’est un peu décevant, mais c’est ces formules là qui sont écrites pas seulement avec des lettres, mais les valeurs 0 et 1, et les expressions algébriques à plusieurs variables, c’est ça qui fait qu’on fabrique  ce qu’on appelle une algèbre,

Groupe, anneaux, corps et  module, algèbre, espace vectoriel !

donc moi je vous propose de noter que vous avez pour l’instant

- la notion de groupe, et la structure linéaire qui accompagne les groupes ça s’appelle module ,

- vous avez ensuite les anneaux, et la structure linéaire qui accompagne les anneaux ça s’appelle Algèbre,

- vous avez les corps, et la structure linéaire qui accompagne les corps ça s’appelle les espaces vectoriels, et on les connait bien ceux là, les espaces vectoriels, parce que ça sert en géométrie, avec les vecteurs, c’est pour ça que ça s’appelle espace vectoriel, on a appris ça en mécanique, celle de Newton, la mécanique se fait dans un espace vectoriel, JMV27012015

l’identité x, et la négation, non x, (¬ x); l’affirmation, c’est pas le Vrai et  le Faux, c’est l’affirmation et la négation, ça s’écrit x ou x +1 en algèbre de Boole

c’est les deux seules opérations,  parce que x par x = x, c’est l’axiome de Boole, il s’en sert comme un axiome, avant parce que Boole il n’a pas tout de suite vu que c’était Z2, Z modulo 2,

Boole a suivi un chemin si vous lisez son ouvrage : les Lois de la pensée, qui lui vaut les critiques de Frege, vous voyez que ce qui guide Boole pour inventer les Lois de la pensée,

soit l’arithmétique de la logique, c’est le calcul des probabilités, en tant qu’anglais il était très féru du calcul des probabilités, et il y a une notion du calcul des probabilités qui est assez surprenante, qui s’appelle fonction, qu’on appelle variable aléatoire,

et donc il a plutôt suivi le chemin de la manière dont on est venu à écrire les probabilités avec les espérances ? mathématiques, les variables aléatoires, ces variables aléatoires c’est une façon d’écrire et d’utiliser le signe égal qui n’est pas standard en arithmétique des nombres,

c’est  ça va conduire Boole, il ne va pas tout de suite voir le rapport qu’il y a entre son arithmétique nouvelle et nous ce que nous pouvons reconnaitre maintenant comme l’ensemble des entiers modulo 2. 

On voit maintenant qu’il s’est passé plus d’un siècle depuis, c’est comme toute les choses qui apparaissent en mathématique, du moment où on ne les a pas trouvées, on fait des efforts énormes pour arriver à les construire, quand on les construit on est déjà très content, on dit que c’est formidable !,

et si ça rentre ensuite dans le discours, on se demande quelques dizaines d’années après comment on n’a pas pu faire ça depuis toujours, c’est les anglais qui parlent le mieux de ça, et ils ont même fait des études là-dessus, des trucs qui ont demandés des efforts énormes à des générations de mathématiciens, pfuiiiiit !!, une fois que c’est trouvé ça rentre dans le domaine public, tous de dire : mais comment on n’a pas pensé à ça avant, justement parce qu’on y avait pas pensé, voyez la pensée ça vaut ce que ça vaut, c’est-à-dire qu’on ne savait pas l’écrire, et il fallait inventer le système d’écriture, il n’y a pas que l’écriture effective, parfois il faut inventer la manière d’écrire, et là on entre dans une nouvelle écriture de la logique, qui fait hurler Frege, parce que c’est une arithmétique, et ça l’ennuie, car  il veut justement faire la logique de l’ arithmétique, alors il dit si la logique c’est une arithmétique, et si je fais la logique de l’arithmétique, je vais avoir deux arithmétiques et je vais avoir deux signes plus, deux zéros et deux uns, etc., il a raison, et il veut faire son Idéographie dans la marge, c’est une glose, son système, son idéographie, c’est une glose qui s’écrit dans la marge, et qui accompagne, un peu comme quand on fait déduction, on met toutes les lois logiques qu’on utilise pour passer d’une thèse à une autre thèse, on met une loi logique pour passer d’une écriture à une autre écriture, Frege, son idéographie, elle est dans la marge, alors qu’avec Boole, on va faire entrer la logique dans le calcul, mais il y a deux arithmétiques, et après Frege avec Peirce,  la logique elle va rentrer dans le langage objet, avec les quanteurs, vous savez comment il écrivait, ce qu’on va écrire avec Peirce, quelque soit x, "x, Frege il écrivait ça comme ça, ¦—∪— , il mettait le trait d’assertion, là c’était x, par exemple, voir tableau,  quel que soit x , x +x = 0,

Les lois de la pensée, Table,

le petit tableau de la somme, ça c’est des choses qu’il va falloir étudier si vous ne connaissez pas,
vous avez les deux valeurs 0 et 1,
0+0 c’est 0, 0+1 c’est 1, 1+0 c’est 1, et 1 +1 c’est 0 ; !
Alors pourquoi, 1 + 1 = : 0 ?
Alors je vais vous donner tout de suite un truc pour que ça devienne plausible pour vous, et que vous ayez une manière raisonnée de réfléchir à ça, que vous ayez une raison,
Définition des nombres pairs et impairs,
je vous ai dit que 0 et 1 c’est la congruence modulo 2, donc c’est les nombres pairs et les nombre impairs,
0 c’est tous les nombres pairs, et 1 c’est tous les nombres impairs, donc si vous prenez 2 nombres impairs,
1+1 = 0, vous voyez bien que la somme de 2 nombres impairs ce sera toujours pair !
parce que une nombre impair c’est toujours une nombre pair plus ou moins un, un nombre impair on va l’appeler 2k +1, et un nombre pair on va l’appeler simplement 2k, c’est un multiple de 2, (V02-12.40) ;